Повороты и комплексные числа

Почему это здесь, а не в начале

Тригонометрию в этом плане специально отложили до конца блока. Причина в том, что угол — понятие производное: он определяется через скалярное произведение, как мы видели двумя уроками ранее. Начав с тригонометрии, приходится принимать угол на веру; начав с неё в конце, всё встаёт на свои места.

Из всей тригонометрии нужен минимум: радианы, синус и косинус на единичной окружности, формулы сложения углов. Решение треугольников, теоремы синусов и косинусов, обратные функции и подстановки — не нужны.

Радианы и единичная окружность

Радиан — угол, при котором длина дуги равна радиусу. Полный оборот равен $2\pi$. Смысл соглашения в том, что только в радианах верно $\frac{d}{d\theta}\sin\theta = \cos\theta$ без лишних множителей, — а это понадобится в блоке 2.

Определение через окружность: точка на единичной окружности под углом $\theta$ имеет координаты $(\cos\theta, \sin\theta)$. Всё остальное — следствия: $\cos^2 + \sin^2 = 1$ это теорема Пифагора, а периодичность — то, что оборот возвращает в ту же точку.

Матрица поворота

Поворот на $\theta$ переводит $\mathbf{e}_1 \mapsto (\cos\theta, \sin\theta)$ и $\mathbf{e}_2 \mapsto (-\sin\theta, \cos\theta)$. По правилу «столбцы — это образы базисных векторов» матрица получается сразу:

$$R(\theta) = \begin{bmatrix} \htmlData{k=first}{\cos\theta} & \htmlData{k=second}{-\sin\theta} \\ \htmlData{k=first}{\sin\theta} & \htmlData{k=second}{\cos\theta} \end{bmatrix}$$

Столбцы ортогональны и единичны, значит $R$ ортогональна: $R^{-1} = R^\top$, и обратный поворот — это поворот на $-\theta$. Определитель равен $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$: площади сохраняются, ориентация тоже.

Композиция складывает углы

Повернуть на $\theta$, потом на $\varphi$ — то же, что повернуть на $\theta + \varphi$:

$R(\varphi)R(\theta) = R(\theta + \varphi)$

Раскройте произведение матриц слева и сравните с правой частью поэлементно — получатся ровно формулы сложения углов:

$\cos(\theta + \varphi) = \cos\theta\cos\varphi - \sin\theta\sin\varphi$ $\sin(\theta + \varphi) = \sin\theta\cos\varphi + \cos\theta\sin\varphi$

Их не нужно запоминать отдельно: это одно матричное равенство, записанное по элементам. Подвигайте оба угла и убедитесь, что пунктирный вектор всегда попадает туда же, куда привела бы сумма:

матрица поворота

0.87 -0.5 0.5 0.87

cos θ

0.87

sin θ

0.5

θ в радианах

0.52

θ + φ

75°

угол θ

30°

угол φ

45°

Комплексные числа как та же самая структура

Комплексное число $z = a + bi$ — это пара $(a, b)$ с особым правилом умножения. Правило устроено так, что умножение на $z$ — это линейное отображение с матрицей

$\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix}$

Сравните с матрицей поворота: при $a = \cos\theta$, $b = \sin\theta$ это ровно она. Умножение на комплексное число единичного модуля — поворот, и ничего больше.

В общем случае $z$ записывается через модуль $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ и аргумент $\arg z = \theta$:

$z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)$

Умножение перемножает модули и складывает аргументы — потому что растяжения перемножаются, а повороты складываются.

Формула Эйлера

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

Причина, по которой это не произвольное обозначение: у экспоненты определяющее свойство $e^{x+y} = e^x e^y$, а у поворотов — «композиция складывает углы». Это одно и то же свойство. Записав поворот как экспоненту, мы получаем закон сложения бесплатно.

Отсюда же $|e^{i\theta}| = 1$ для любого действительного $\theta$ и знаменитое $e^{i\pi} = -1$ — поворот на половину оборота.

Где это понадобится

• RoPE: позиционное кодирование, которое поворачивает пары координат на угол, пропорциональный позиции. Это буквально $R(\theta)$ из этого урока, применённая блоками по два. Свойство «композиция складывает углы» — причина, по которой относительная позиция получается сама собой: скалярное произведение повёрнутых векторов зависит только от разности углов.
• синусоидальные позиционные кодировки: набор $\sin$ и $\cos$ разных частот.
• преобразование Фурье: разложение по $e^{i\omega t}$.
• устойчивость рекуррентных сетей: комплексные собственные значения с модулем около единицы — это медленно затухающие колебания, а не взрыв.