Вероятностное пространство

Три объекта

Вероятностное пространство — это тройка $(\Omega, \mathcal{F}, P)$:

• $\Omega$ — множество исходов, всё, что может случиться. Для монеты $\{\text{о}, \text{р}\}$, для броска точки на отрезок — сам отрезок.
• $\mathcal{F}$ — набор событий. Событие это подмножество $\Omega$.
• $P$ — функция, приписывающая каждому событию число из $[0, 1]$.

Второй пункт — тот, ради которого стоило проходить блок 0. Событие не является новым видом объекта: это множество исходов. «Выпало чётное» — это множество $\{2, 4, 6\}$. Поэтому все операции над событиями уже знакомы:

на языке событий	на языке множеств
$A$ или $B$	$A \cup B$
$A$ и $B$	$A \cap B$
не $A$	$\Omega \setminus A$
$A$, но не $B$	$A \setminus B$
ровно одно из двух	$A \triangle B$
несовместны	$A \cap B = \varnothing$

Диаграмма из блока 0 работает здесь без изменений — только элементы теперь исходы, а множества события:

A ∪ BA ∩ BA \ BB \ AA △ B

Здесь $\Omega = \{1, \ldots, 6\}$ — бросок кубика, $A$ — «выпало нечётное или 2 или 4», $B$ — «выпало 2, 4 или 6». Переключите операцию и посмотрите, какие исходы попадают в событие.

Аксиомы

Всего три, и они устроены так, что из них выводится всё остальное:

1. $P(A) \ge 0$ для любого события;
2. $P(\Omega) = 1$;
3. для попарно несовместных событий $P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum_i P(A_i)$.

Третья — главная, и в ней важна оговорка про несовместность. Складывать вероятности можно только когда события не пересекаются, иначе общая часть будет посчитана дважды.

Немедленные следствия: $P(\varnothing) = 0$, $P(\Omega \setminus A) = 1 - P(A)$, и из последнего — монотонность: если $A \subseteq B$, то $P(A) \le P(B)$.

Включение-исключение

Если события пересекаются, поправка обязательна:

$$P(A \cup B) = \htmlData{k=sum}{P(A) + P(B)} - \htmlData{k=fix}{P(A \cap B)}$$

Поправка нужна потому, что исходы из $A \cap B$ вошли в оба слагаемых. Для трёх событий добавляются обратно тройные пересечения, и так далее со знакочередованием — но дальше двух-трёх событий формулой почти не пользуются.

Проверьте на диаграмме: у $A$ пять исходов, у $B$ три, у объединения шесть. $5 + 3 - 2 = 6$ — пересечение из двух исходов вычтено ровно один раз.

Дискретный и непрерывный случай

Для конечного $\Omega$ достаточно задать вероятность каждого исхода, и события получаются суммированием. Тогда $\mathcal{F}$ можно взять множеством всех подмножеств — то самое $2^\Omega$ из блока 0.

Для непрерывного $\Omega$ так уже нельзя, и здесь возникает единственная причина, по которой в определении вообще фигурирует $\mathcal{F}$. Если бросать точку на отрезок, вероятность попасть в конкретную точку равна нулю — а отрезок при этом состоит из точек, и суммирование нулей единицы не даёт. Приходится приписывать вероятности не исходам, а сразу событиям, и не всем подмножествам, а достаточно приличным.

Этот набор называется сигма-алгеброй, а его элементы — измеримыми множествами. Строить её мы не будем: в блоке есть отдельный урок-словарь, где такие термины разбираются на уровне «узнавать в статье». Практический вывод один: для непрерывных величин работают с плотностью и интегралом, а не с вероятностями отдельных точек. Ровно поэтому следующие уроки про случайные величины устроены так, как устроены.

Что стоит унести

Вероятность — это мера на множествах, и почти вся работа с ней сводится к аккуратной работе с множествами. Если формула кажется загадочной, стоит нарисовать диаграмму: половина ошибок в задачах на вероятность — это забытое пересечение или перепутанное дополнение, а не что-то содержательное.